Teoría Preliminar

Tema: Teoría Preliminar

Objetivo: Identificar conceptos de calculo diferencial e integral aplicable a las ecuaciones diferenciales.

Derivadas Parciales

Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias variables considerando únicamente a una literal como variable y el resto se considera constantes.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :

  Para ello recordemos que la derivada de la función  z = e^u  es:   z’ = u’ . e^u , siendo u en nuestro caso: x² + y² , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la xconstante). Así tenemos:

  Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

  Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables  w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.

 
 Diferencial de una función de varias variables.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:

Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".

Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función:    , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

  Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.

  Para la función  las derivadas en el punto P(1, 2) son:

y la diferencial en ese punto:

 

 Derivadas parciales de segundo orden.

  Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (2²) derivadas de segundo orden:

(se debe leer  "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)

  Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

 

  Se trata de derivar respecto de x la derivada .

  Se trata de derivar respecto a x la derivada .

   Se trata de derivar respecto a y la derivada .

   Se trata de derivar respecto a y la derivada  .

  Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

  Las derivadas  son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.