Dependecia lineal

Identificar si 2 o más funciones son DEPENDIENTES o INDEPENDIENTES

 

Son dependientes cuando alguna de ellas puede representarse en función de otra como se muestra a continuación:

 

La dependencia lineal de 2 o más funciones se calcula mediante el WROSKIANO de las funciones que se encuentra mediante la determinante de la función:

Cuando W=0: se considera que las funciones son LINEAL MENTE DEPENDIENTES.

Cuando W≠0: se considera que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

Algoritmo y ejemplo.

 

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas.

Definicón

Llamamosecuación diferencial lineal de ordenna toda ecuación que se puede expresar en laforma

para la que admitimos que los coeficientesai(x),i=1,2,… ,ny el segundo miembrof(x)son funcionesdefinidas en un intervaloI⊆R.La ecuación (1) se dicehomogéneaoincompletasif(x)=0para todox∈I. En caso contrario,se diceno homogéneaocompleta.

Algoritmo

Existen 3 posibilidades de solución.

Cuando las raíces son reales.

Se sustituyen los valores de las raíces de manera directa en el exponente de la función, matematicamente se expresa de la siguiente manera. 

Y=C1e^m1x+C2e^m2x

Cuando las raíces son iguales (m1=m2)

En este caso se repite la raíz en cada potencia y se incrementa una variable independiente en cada término.

Y=C1e^m1x+c2xe^m2x

Cuando las raíces son imaginarias

En un valor imaginario la parte real se representa por la letra α y la parte imaginaria por ß.

Mi=α+iß m2=x-iß

Y=Cie(α+iß)x+C2e(x-iß)x.

Para resolver una E.D.L.H se convierte a una ecuación polinomial encontrando las raíces de dicha ecuación.

Ejemplo

 

Ecuaciones de Bernoulli

Definición

La ecuación diferencial de Bernouilli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y^1-α = v,¹ que se caracteriza por adoptar la forma:

Algoritmo

 

 

Ejemplo 

 

 

Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales

Primeramente obtengamos los modelos para el circuito representado en la Figura 1

Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchoff:

1. La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. LEY DE NODOS
2. Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. LEY DE MALLAS

En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente i(t)), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS.

Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento:

Caídas de voltaje para cada elemento del circuito descrito en la Figura 1, expresadas en función de la correinte i(t) y en función de la carga q(t)Elementos del CircuitoCaídas de VoltajeCaídas de voltaje en función de i(t)en función de q(t) Inductor Ldidt =Ld2idt2 ResistoriR=Rdqdt Capacitor1Cq

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente i(t), tenemos:

Ldidt+iR=E(t)(1)

Donde L, R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama también respuesta del sistema.

En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuación es:

Ldidt+Ri+1Cq=E(t)(2)

Menciono porque es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2).

Es importante hacer notar que en la ecuación (2) aparecen 2 variables dependientes i y q por lo que para poder resolverla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar:

a2(x)d2ydx2+a1(x)dydx+a0(x)y=g(x)

La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es y y su variable independiente es x.

Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial linea ordinaria de 2º orden por que al adecuar la ecuación (1) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden la ecuación (1), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes i(t) y q(t) de la ecuación (1), es una ecuación diferencial.

Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes i(t) y q(t), en su forma de derivada es:
 

i=dqdt

Solución de la Ecuación Diferencial resultante

Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:

0.1didt+50i=30(3)

Resolviendo la ecuación (3) por el método de los 4 pasos:

I. Forma estándar:
dydx+P(x)y=g(x)⇒didt+500i=300

II. Factor Integrante:
e∫P(x)dx==e∫500dte500t

III. Forma de la solución:
y=yc+yp⇒i(t)=itr(t)+ips(t)
yc=Ce∫P(x)dx⇒⇒itr(t)=Ce−∫500dtitr(t)=Ce−500t
yp=1e∫P(x)dx∫e∫P(x)dxf(t)dx⇒⇒⇒⇒⇒ips(t)=1e500t∫e500t∗300dtips(t)=300e500t∫e500tdtips(t)=300500∗e500t∫e500t∗500dtips(t)=35∗e−500t[e500t]ips(t)=35

Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es:

i(t)==itr(t)+ips(t)Ce−500t+35(4)

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales i(0)=0, es decir cuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 también.

Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos:

i(t)000====Ce−500t+35Ce−500(0)+35C(1)+35C+35

Esto implica que:

C=–35

De donde la Corriente Buscada es:

i(t)=–35e−500t+35(5)
Es evidente, observando la ecuación (5), que cuando t→∞, i(t)=35, este resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente i(t), resultante como en la Figura 2. De aquí que se le llame transitorio al término: –35e−500t

Problemas de aplicación ecuaciones diferenciales lineales.

Definición

En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR, y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos.

Algoritmo 

Para resolver estos problemas se utilizará esta metodología.

• Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
• Solución de la Ecuación Diferencial resultante
• Graficación de la corriente encontrada.

Ejemplo

Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0.
El circuito esta descrito en la Figura 1.