Ecuaciones Diferenciales homogenias

Tema: Ecuaciones Diferenciales homogenias

Defición:

Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente, en caso contrario es No Homogénea.

Una función  f(x,y) decimos que es homogénea de grado n, si para cualquier l (distinto de 0) se cumple:

                                    f(lx, ly) = lⁿ f(x, y)  

Se trata de una ecuación diferencial con la forma:

     

Siendo f(x,y) una función homogénea de grado 0.

Algoritmo:

Para resolver ED homogéneas utilizaremos los siguiente 4 pasos, que describimos a continuación:

1. Determinamos Homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma:

dydx=f(x,y) o dxdy=f(y,x)

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la
convierta en la forma:

dydx=f(yx) o dxdy=f(xy)

2. Seleccionamos la sustitución adecuada:

u=yx o v=xy

3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), que tiene la forma:

 xdudx=F(u)−u  o  ydvdx=F(v)−v

4. Integramos e inmediatamente después de aplicar la formula de integración regresamos a las variables originales.

Ejemplo:

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

2xydydx=4x2+3y2

Solución

Paso 1. Determinamos homogeneidad

a). Escribimos la ED en la forma: dydx=f(x,y)  o dxdy=f(y,x)

2xydydxdydx==4x2+3y24x2+3y22xy

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la convierta en la forma:







 dydx=f(yx)  o dxdy=f(xy)

dydxdydx===4x2+3y22xy∗1x21x24(x2x2)+3(y2x2)2(xyx2)4+3(yx)22(yx)

Paso 2. Seleccionamos la sustitución adecuada

u=yx  o  v=xy

Tenemos:
u=yx⇒y=ux⇒dydx=u+xdudx

Por tanto:

dydx⇒u+xdudx⇒xdudx===4+3(yx)22(yx)4+3u22u4+3u22u−u

Paso 3. Desarrollamos la nueva ED (que ahora es separable y), tiene la forma:


xdudx=F(u)−u  o  ydvdx=F(v)−v

Tenemos:

xdudxxdudxxdudx2u4+u2du====4+3u22u−u4+3u2−2u22u4+u22udxx

Paso 4. Integramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula de integración regresamos a las variables originales.

Tenemos:

∫2udu4+u2=∫dxx+C

v=u2  dv=2udu

⇒ln(4+u2)=lnx+C

Si u=yx entonces:

⇒ln(4+(yx)2)⇒ln(4+(yx)2)⇒ln(4+(yx)2)4+(yx)24+y2x2y2x2y2y========lnx+Clnx+lnClnCxCxCxCx−4x2(Cx−4)Cx3−4x2−−−−−−−−√

Por tanto, el resultado buscado es:


y=Cx3−4x2−−−−−−−−√

Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.